برای اینکه بدانیم چرا پروفسور میرزاخانی جایزه فیلدز را گرفت، باید کمی اطلاعات هندسی دوره دبیرستانی را بیاد بیاوریم. نترسید! قول می دهیم سراغ فرمول ها نرویم.

اول از هندسه اقلیدوسی شروع کنیم. چون این دقیقا چیزیست که در دبستان و دبیرستان یاد می‌گیریم. داستان از آنجا شروع شد که در بازه‌ای از زمان تعداد قضیه ها و قانونها و قواعد ریاضی خیلی زیاد شده بود و مسلماً همه با هم ربط داشتند. ولی یک سری قواعدی هم بودند که اصولاً قابل اثبات نبودند، هر چند خیلی واضح بنظر می‌رسیدند. در جستجوی اینکه کدام قانون با کدام قانون دیگر در ارتباط است و کدام یک از دیگری نتیجه گرفته میشود؛ ریاضیدانها به 5 اصل رسیدند که قابل اثبات نبودند و از یکدیگر نتیجه گرفته نمی‌شدند و معروف به اصول اولیه هندسه اقلیدوسی شدند:

 محاسبه سطوح ریمانی کاربرد فراوانی در دینامیک و فیزیک نوین دارد.

1. مابین دو نقطه فقط یک خط راست میتوان رسم کرد.

2. یک پاره خط را می توان از هر دو طرف تا بینهایت ادامه داد.

3. از هر نقطه میتوان یک دایره با شعاع دلخواه رسم کرد

4. همه زوایای قائمه با هم برابرند.

 5. از هر نقطه خارج یک خط فقط یک خط موازی با خط اول می توان رسم کرد.

توابع هذلولوی یا هذلولی از توابع پرکاربرد در ریاضیات می‌باشند که روابط حاکم بر آن شبیه مثلثات است. با این تفاوت که خطوط مثلثاتی با توجه به دایره ای که شعاع آن واحد می‌باشد ، تعریف می‌شود ولی توابع هذلولوی(هذلولی) با توجه به هذلولی متساوی الساقین تعریف می‌گردد.از تابع های پایه‌ای آن sinh (خوانده می‌شود:سینوس هایپر بولیک) و cosh (کسینوس هایپر بولیک) هستند که دیگر توابع را مانند tanh (تانژانتهایپر بولیک)می سازند.این توابع در انتگرالها ، معادلات دیفرانسیل خطی و همچنین معادله لاپلاس بسیار ظاهر می‌شوند. همانند توابع مثلثاتی که دارای معکوس اند ،این توابع نیز دارای معکوس اند و با پسوند های arc و arg نمایش داده می‌شوند. مانند : arcsinh

 نظریه ها و قاعده های ریاضی، با کشف خود «هستی» پیدا می کنند، آن ها تنها وجود دارند و اغلب بدون کاربردند. دیر یا زود، و گاهی بعد از صدها و هزارها سال، این موجودات ریاضی به «صفت» تبدیل می شوند و کاربرد خود را در زندگی و عمل، در سایر دانش ها، در صنعت و هنر پیدا می کنند.«اویلرشاید ۳۸۰ سال پیش کسی فکر نمی کرد لگاریتمی که در رابطه با نیاز محاسبات عملی کشف شد در آینده کاربردهای وسیعی پیدا کند...

شاید هیچوقت کپلر فکر نمی کرد که جدول هایی را که برای ساده  کردن محاسبات طولانی در تعیین مدار مریخ و یا کارهای اخترشناسی دیگرش تنظیم کرد، جرقه ای این چنین را در ریاضیات ایجاد کند.
یا شاید لاپلاسی که گفت: “لگاریتم طول زندگی اخترشناسان را چند برابر کرد” نمی دانست که نه تنها طول زندگی اخترشناسان بلکه دریانوردان، بازرگانان، موسیقیدانان، شیمیدانان، ریاضیدانان، زمین شناسان و حتی همه ی انسان های کره ی زمین را چند برابر کرد.

بسیاری از مردم مسحور زیبایی خیره کننده تصاویری موسوم به فراکتال ها می شوند. فراکتال ها شاخه تلفیقی جدیدی از ریاضیات و هنر محسوب می شوند و شاید علت آن که فراکتال ها در نظر بیشتر افراد به چشم تصاویری زیبا مناسب پیشخوان رایانه ها یا طرح های بدیع و اصیل کارت پستالی دیده می شوند همین آمیختگی ریاضی و زیباشناختی آن است.

اکثر نظام های عینی طبیعت و بسیاری از مصنوعات بشری در چارچوب اشکال هندسی منتظم و یکدست هندسه اقلیدسی نمی گنجند. هندسه اقلیدسی با همه معیارهایش در برابر تعریف نظام های طبیعی و مصنوعی جهان حرفی برای گفتن ندارد، اما از آن طرف هندسه فراکتالی راه های تقریبا نامحدودی را برای توصیف، اندازه گیری و پیش بینی پدیده های طبیعی در آستین دارد. فراکتال ها در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل برف دانه ها، کوه ها، ابرها، ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگ های آذرین، شبکه آبراه ها و رودخانه ها، رسوبگذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتری ها و سیستم عروق خونی، DNA و... دیده می شوند و با آنها می توان پدیده های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش بینی کرد.