برای اینکه بدانیم چرا پروفسور میرزاخانی جایزه فیلدز را گرفت، باید کمی اطلاعات هندسی دوره دبیرستانی را بیاد بیاوریم. نترسید! قول می دهیم سراغ فرمول ها نرویم.
اول از هندسه اقلیدوسی شروع کنیم. چون این دقیقا چیزیست که در دبستان و دبیرستان یاد می‌گیریم. داستان از آنجا شروع شد که در بازه‌ای از زمان تعداد قضیه ها و قانونها و قواعد ریاضی خیلی زیاد شده بود و مسلماً همه با هم ربط داشتند. ولی یک سری قواعدی هم بودند که اصولاً قابل اثبات نبودند، هر چند خیلی واضح بنظر می‌رسیدند. در جستجوی اینکه کدام قانون با کدام قانون دیگر در ارتباط است و کدام یک از دیگری نتیجه گرفته میشود؛ ریاضیدانها به 5 اصل رسیدند که قابل اثبات نبودند و از یکدیگر نتیجه گرفته نمی‌شدند و معروف به اصول اولیه هندسه اقلیدوسی شدند:
محاسبه سطوح ریمانی کاربرد فراوانی در دینامیک و فیزیک نوین دارد.
1. مابین دو نقطه فقط یک خط راست میتوان رسم کرد.
2. یک پاره خط را می توان از هر دو طرف تا بینهایت ادامه داد.
3. از هر نقطه میتوان یک دایره با شعاع دلخواه رسم کرد
4. همه زوایای قائمه با هم برابرند.
5. از هر نقطه خارج یک خط فقط یک خط موازی با خط اول می توان رسم کرد.
توابع هذلولوی یا هایپربولیک 
عرض تسلیت به جامعه ریاضی